染色

小学数学中染色的应用

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孙诗涵

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摘要：染色问题是图论主要研究问题之一，是图论中一个很活跃的课题，小学数学中也涉及到一些简单的染色问题．本文主要通过例子说明小学数学中染色问题的奇偶性分析法、抽屉原理法以及反证法．一般来说染色有点染色、线段染色、小方格染色和区域染色，常见的染色问题有棋盘问题、图形覆盖问题、存在性问题等等．这些染色的趣味性很强，对小学生在学习数学时的态度，有积极调动的作用．  Gcv徐州市城东实验小学

关键词：奇偶性分析；抽屉原理；反证法．Gcv徐州市城东实验小学

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前言

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“染色方法”在初等数学竞赛中是较为常见的，也是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法．在处理问题时，将问题中的对象适当的进行染色，有利于我们观察、分析对象之间的关系， 像国际象棋的期盼那样，我们可以把被研究过的对象染上不同的颜色，许多隐藏的关系会变得明朗，再通过对染色图形的处理达到对原题的解决，这种解题方法我们称之为染色法．

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另外，“染色”新颖、直观且有浓厚的趣味性，有时候不要求具备许多专门的数学知识就能解决这类问题．常见的染色问题有两类，一类是直接对图形进行染色，从而解决问题；另一类是利用染色的方法解决各类问题． 

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小学数学中，染色问题通常与奇偶性分析、抽屉原理、反证法等数学方法密切相关．Gcv徐州市城东实验小学

一、染色问题中的奇偶性分析

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自然数可以分为奇数和偶数两大类．我们又很容易总结归纳出奇数与偶数的性质， 例如: 奇数个奇数之和仍为奇数； 偶数个奇数之和为偶数；两个奇数之差为偶数；两个偶数之差为偶数；一个奇数与一个偶数之和(或差)为奇数．

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只要我们合理、灵活、巧妙、有意识地利用奇数与偶数的这些性质并运用正确的推理分析方法，就可以解决许多与奇偶数相关的有趣问题． 

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例1 有一本书，不小心被撕去了 张，撕去的 张纸上的所有页码之和能不能是 ?

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[分析] 因为每张纸上都有 个页码， 它们是相邻的页码，必然是一奇一偶，其和为奇数． 而这 张纸上的页码之和就是 个奇数之和，一定为偶数，而不能是奇数 ．所以，撕去的 张纸的所有页码之和不能是 .

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在染色问题中我们也经常利用奇偶性来解决问题．染色问题中的奇偶性与我们所理解的自然数中的奇偶性大同小异． 

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例2 六年级一班全班有 名同学，共分 排，每排 人，坐在教室里每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座，如果要让这 名同学个人都恰好坐他的邻座上去，能办到吗？为什么？Gcv徐州市城东实验小学

[分析] （如左下图）用奇偶法画一 的方格表，其中每一个方格表示一个座位将方格黑白相间地染上颜色， 这样黑色座位与白色座位就都成了邻座．由于座位总数 是个奇数，因此黑白两色座位数的奇偶性不同，从而不可能黑色的位置数与白色的位置数相同．Gcv徐州市城东实验小学

在奇偶法的方法上用反证法： 如果一定要让这 名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，如果能实现的话，那么黑色的位置一定要白色位置数就必须相等．  Gcv徐州市城东实验小学

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例3 教室中有 排椅子，每排 张，每张椅子上坐一个学生，一周后，每个学生都必须和他的相邻（前、后、左、右）的某一个同学交换座位．  问：能不能换成？为什么？Gcv徐州市城东实验小学

[分析] （如右上图），将 的方格，其中每一个方格表示一个座位，将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位就都成了邻座.Gcv徐州市城东实验小学

根据题意可知，一周后要交换位置，结合图形可知就是黑白交换，但图中有 黑， 白，显然黑格数≠白格数，所以不能．Gcv徐州市城东实验小学

同样，染色的奇偶性方法不但可以帮助我们解决生活中的问题，还可以帮助我们去解决游戏中的一些麻烦事．  Gcv徐州市城东实验小学

例4 在中国象棋的棋盘上有一只马，它跳了若干次，正好跳回原来的位置，问：马跳的步数是奇数还是偶数？Gcv徐州市城东实验小学

[分析] 把棋盘上的横竖线的交点按黑白色间隔方法染色，如图，假设马从一个黑点跳出，无论往什么方向跳，显然第一步必然会跳到一个白点上，第二步必然会跳到一个黑点上，第三步必然跳到一个白点上，第四步必然跳到一个黑点上，于是它的落子点依次是白、黑、白、黑······，跳奇数步数都落在白点上，跳偶数步数都落在黑点上，所以要跳回原出发点必须跳偶数步．Gcv徐州市城东实验小学

在解决一些立体图形问题时，我们同样可以利用染色的奇偶性方法．Gcv徐州市城东实验小学

例5 如左下图，把正方体分割成 个相等的小正方体，在中心的那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的 个小正方体中的任何一个中去．如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次，甲虫能走遍所有的正方体吗？Gcv徐州市城东实验小学

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[分析] 我们将 个相等的小正方体如右上图染上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色，显然在 小正方体中 个是黑色的， 个是白色的.Gcv徐州市城东实验小学

甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色，即白黑白黑白黑白黑……．如果要做到只能走到每个小正方体一次，则必须白色小正方体与黑色小正方体的个数相同，或白色小正方体的个数比黑色小正方体多一个，而现在是 黑色， 个白色，所以甲虫不能走遍所有的小正方体．  Gcv徐州市城东实验小学

本题是立体图形的染色问题，通过染色得相邻小正方体不同色，即甲虫没走一步必须改变颜色，再从黑白颜色小正方体数的不同产生矛盾，从而得出不可能的结果.Gcv徐州市城东实验小学

二、染色问题中的抽屉原理

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首先让我们先来认识一下抽屉原理．比如，有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放， 我们会发现至少会有一个抽屉里面放两个苹果．这一现象就是我们所说的“抽屉原理”． 抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有 或多于 个元素放到 个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素．” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了 只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有 只鸽子”）．它是组合数学中一个重要的原理．  Gcv徐州市城东实验小学

抽屉原理在染色问题中的应用也十分的广泛，下面的几个例子就十分的具有代表性.Gcv徐州市城东实验小学

例6 在 的方格纸上（如图），用笔涂其中的 个方格，要求每横行和每竖列被涂方格的个数都是奇数．如果两种涂法经过旋转以后相同则认为它们是相同类的涂法，否则是不同类的涂法． 例如下图中的右面两幅图就是相同类型的涂法． 最多有多少种不同类型的涂法？说明理由．  Gcv徐州市城东实验小学

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[分析] 根据题意，三个横行涂 格，根据抽屉原理我们可以知道，必然有一个横行涂 格，另外两个横行各涂 格．  Gcv徐州市城东实验小学

同理，三个竖列必有一列涂 格，另外两列各涂 格．  Gcv徐州市城东实验小学

经过试验，只有下列三种不同的涂法：Gcv徐州市城东实验小学

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在枚举试验前先根据题意讨论，对答案进行有目的的猜测，这样更加有利于我们得出结论，这一题正因为运用了抽屉原理大大缩小了我们试验的范围，很快就能得出结论．再如下面这个例子更加证明，恰当地使用抽屉原理在解决染色问题时会给我们带来很大的方便．  Gcv徐州市城东实验小学

例7  想要给 方格板涂上黑色和白色，使得每一行或每一列正好有两个黑色的方格和两个白色的方格．下图表示两个例子．问：有多少种不同的方式？Gcv徐州市城东实验小学

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 [分析] 在第一列中涂上两格黑色的方式有 种，每种情况分以下三种情况考虑其他各列：Gcv徐州市城东实验小学

（1）第二列的黑方格与第一列出于相同的两行，最后两列只有唯一的一种选择方式；Gcv徐州市城东实验小学

（2）第二列的黑方格与第一列出于不同的两行，第三列有 种选择方式，第四列随之确定；Gcv徐州市城东实验小学

（3）第二列只有一个黑方格与第一列的一个黑方格相同，有 种选择，在选择第三列时有2种选择方式，第四列随之确定，共有 （种）选择Gcv徐州市城东实验小学

所以总共有 （种）不同的涂色方法．  Gcv徐州市城东实验小学

本题解题方法意图明显，就是要通过确定第一列的染色方式，然后进行分步讨论，缩小范围，确定每种方式其他各列有几种方式，然后得出总的染色方式．  Gcv徐州市城东实验小学

在染色问题的抽屉原理应用中同样存在着一些立体的题目.Gcv徐州市城东实验小学

例8  立体图形抽屉原理Gcv徐州市城东实验小学

个人参加一个集会，每两个人或者互相认识或者互相不认识．  能不能找到两个“三人组”，在每一个“三人组”中的三个人，或者互相认识，或者互相不认识（这两个“三人组”可以有公共成员）？为什么？Gcv徐州市城东实验小学

[分析] 设 个点 并表示 个人，如果认识连实线，不认识就连虚线．  Gcv徐州市城东实验小学

考虑由 点引出的五条线段 ，根据抽屉原理，其中必然有三条被染成了相同的颜色，不妨设 同为实线，再考虑 的三边，若其中有一条实线，则存在一个实线三角形，若这三条都不是实线，则存在一个虚线的三角形．  Gcv徐州市城东实验小学

现在我们再来证明一下必有两个同实同虚的三角形．不妨设 的三条边都是实线，若 也是三边同为实线的，则显然就有两个同实同虚的三角形；若 三边中有一条边为虚线，设其为 再考虑 三条线段：若其中有两条实线，则显然有一个实线三角形；若其中有两条是虚线，则设其为 ，此时在 中若有一个边为虚线，则存在一个虚线三角形，而若两边都是实线，则又存在一个实线三角形．Gcv徐州市城东实验小学

故无论如何染色，总可以找到两个同实同虚的三角形，也就是6个人中总能找到两个“三人组”，在每个“三人组”中的三个人，或者互相认识，或者互相不认识．Gcv徐州市城东实验小学

三、染色问题中的反证法

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反证法(Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种方式．反证法是“间接证明法”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾．具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明．

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　　在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法．用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”． 

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在染色问题的解决中，采用反证法有时候会收到意想不到的效果．Gcv徐州市城东实验小学

例9  在 的正方形网格中，把部分小方格涂成黑色，然后任意划掉 行 列，使得省下的小方格中至少有 个是红色的，那么，至少要涂黑几个方格？Gcv徐州市城东实验小学

[分析] 先考虑即使每行每列都有一格涂黑，不妨设比较方便的涂法是一条对角线涂6格黑色，如左下图．  Gcv徐州市城东实验小学

如果任意划掉 行 列，也正好把红格全部由划掉，所以必须有一些行或列要涂 个黑格．  如果只有三行有 格黑格，那么无论怎样涂，只要开始就选择这 行划去，接着再划去带黑格的 列也就没有黑格了．  Gcv徐州市城东实验小学

所以为了使得至少余下一个黑格，只要再涂一格，此黑格要使图中再增加一行和一列有两个黑格的．如右下图．这是一种以退为进的解题策略，结论：至少结论：至少需要涂10个方格．  Gcv徐州市城东实验小学

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结束语

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在小学数学课堂教学中利用染色问题，可以起到活跃课堂气氛的作用．通过这篇论文我们发现，染色问题反映了严密的数学并不是铁板一块，它的数学概念，环环相扣之中也存在许多的技巧与趣味. 数学就是在解决问题中逐渐发展完善起来的. 染色问题的存在， 还告诉我们，在学习与研究数学时，必须牢记古希腊数学家毕达哥拉斯的名言：在数学天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么．其实生活也是这样，只要我们了解真相，用好方法，这样我们说不定会为自己另辟蹊径，走上星光大道！

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参考文献：

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[1] 毛文凤．《五年级奥赛冬令营》[M]．北方婦女儿童出版社，2006(第一版)：101-197.Gcv徐州市城东实验小学

[2] 孙磊．《图论染色问题邻点可区别分数染色》[M]．山东师范大学，2008：

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[3] 王燕妮．《图的全染色及分数染色》[M]．山东师范大学，2008．4：89-120

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[4] 黄军华．《高考数学中的染色问题的解决策略》[M]．科教文汇， 2008.8.

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[5] 傅彦等．《离散数学及其应用》[M]．高等教育出版社， 2007.7.

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